一道拋物線定直線問題的再探究
351100 福建省莆田第五中學 鄭劍暉
《數(shù)學通訊》2014年第5、6期(上半月)文【1】由2014年《福建省高考“集結號”最后沖刺模擬卷》中的一道壓軸題給出了拋物線焦點與準線的關聯(lián)性質及推廣,即結論1、2、3、4,并發(fā)現(xiàn)了拋物線另一優(yōu)美性質,即結論5、6. 讀后頗受啟發(fā),但覺意猶未盡.本文擬對這些結論進行推廣,并進一步探究拋物線在這一相同條件下的另一些優(yōu)美性質. 先把結論1~6抄錄如下:
已知點A、B為拋物線C:上的兩個動點,點A在第一象限,點B在第四象限,直線、
分別過點A、B且與拋物線C相切,點P為直線
、
的交點.
結論1 若直線AB過拋物線C的焦點F,則動點在拋物線C的準線上.
結論2 若動點在拋物線C的準線上. 則直線AB過拋物線C的焦點F,
結論3 若直線AB過定點則動點
在定直線
上.
結論4若動點在定直線
上, 則直線AB過定點
結論5若直線AB過拋物線C的焦點F,則以AB為直徑的圓過點P
結論6 若以AB為直徑的圓過點P,則直線AB過拋物線C的焦點F.
以上結論揭示了拋物線C的焦點與準線、類焦點與類準線的關聯(lián)性質,下面對以上性質進行推廣和再探究.
一、再探究1:探究結論的推廣
上述結論1、2分別是結論3、4的特殊情況,而結論3與結論4、結論5與結論6互為逆命題 .能否把結論3、4,結論5、6推廣到更一般的情形?
先看結論3、4,若把其中直線AB所過的“定點”推廣為“定點
”,那么動點
是否在某定直線上?
設動點(
,
),則切點弦
所在直線的方程為
. 若直線
過定點
,則有
,即
這表明動點
(
,
)在定直線
上; 反之,若點
,
)在定直線
(在拋物線外部(不含焦點的區(qū)域)的部分)上,則有
即
.代人直線
的方程
,得
,即
這表明直線
過定點
.由此可把結論3、4推廣為:
已知點A、B為拋物線C:上的兩個動點,點A在第一象限,點B在第四象限,直線
、
分別過點A、B且與拋物線C相切,點P為直線
、
的交點.
結論7 若直線AB過定點,則動點
在定直線
上. 結論8 若動點
在定直線
上,則直線AB過定點
特別地,當時,結論7、8分別為結論3、4.
對于結論5、6 ,其中“以AB為直徑的圓過點P”,即兩切線、
的斜率
滿足
.若把其中直線AB所過的“焦點F”推廣為“類焦點
”,那么兩切線
、
的斜率
應滿足什么條件?
設則切線
、
的方程分別為
則
. 若直線AB過定點
當直線AB不與
軸垂直即
時,直線
、
的斜率
、
相等,即
亦即
.整理得
即
則
.當直線AB與
軸垂直即
時,得
則
;反之,若
,把之代入
,得
,即
當直線AB不與
軸垂直即
時,
,由此可得A、Q、B三點共線,即直線AB過定點
. 當直線AB與
軸垂直即
時,
可得直線AB也過定點
.綜上,可把結論5、6推廣為:
已知點A、B為拋物線C:上的兩個動點,點A在第一象限,點B在第四象限,直線
、
分別過點A、B且與拋物線C相切,點P為直線
、
的交點.
結論9 若直線AB過定點,則兩切線
、
的斜率
滿足
.
結論10 若兩切線、
的斜率
滿足
,則直線AB過定點
特別地,當時,結論9、10分別為結論5、6.
二、再探究2: 探究新結論
在上述結論的條件下,拋物線C還具有哪些優(yōu)美的性質?經探究,拋物線C還具有如下一些優(yōu)美的性質:
已知點A、B為拋物線C:上的兩個動點,點A在第一象限,點B在第四象限,直線
、
分別過點A、B且與拋物線C相切,點P為直線
、
的交點.
結論11 若直線AB過拋物線C的焦點F,則分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點F.
結論12 若分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點F,則直線AB過拋物線C的焦點F.
結論13 若直線AB過定點,且直線AB、PQ的斜率
均存在,則
結論14 若且直線AB、PQ的斜率均存在,且
,則直線AB過定點
結論15 若直線AB過定點,且直線
、PQ、
的斜率
均存在,則
成等差數(shù)列,即
.
結論16若直線、PQ、
的斜率
均存在且成等差數(shù)列,即
,則直線AB過定點
.
顯然,結論11、12是結論13、14的特殊情況,下面只證明結論13、14、15、16.
證明設則切線
、
的方程分別為
兩式相減,得
,由此可得
代入切線
的方程
即
可得
,則
于是
又
則
,
若直線AB過定點,且不與
軸垂直即
時,直線
、
的斜率
、
相等,即
亦即
.整理得
即
則
,即
.
當直線AB與軸垂直即
時,得
則
,即
;
反之,若代入
得
解得
,即
由
存在知直線AB不與
軸垂直即
,則
,由此可得A、Q、B三點共線,即直線AB過定點
.
若, 即
當直線AB不與
軸垂直即
時,
,可解得
,即
同上可得
,A、Q、B三點共線,即直線AB過定點
;當直線AB與
軸垂直即
時,
可得直線AB也過定點
.這就證明了結論13、14、15、16.:
至此,我們完成了對文【1】的結論的推廣和再發(fā)現(xiàn).
參考文獻
【1】卓文隆.一道拋物線定直線問題的推廣.數(shù)學通訊,2014(5、6)(上半月).