一道拋物線定直線問題的再探究

351100     福建省莆田第五中學   鄭劍暉

《數(shù)學通訊》2014年第5、6期（上半月）文【1】由2014年《福建省高考“集結號”最后沖刺模擬卷》中的一道壓軸題給出了拋物線焦點與準線的關聯(lián)性質及推廣，即結論1、2、3、4，并發(fā)現(xiàn)了拋物線另一優(yōu)美性質，即結論5、6. 讀后頗受啟發(fā)，但覺意猶未盡.本文擬對這些結論進行推廣，并進一步探究拋物線在這一相同條件下的另一些優(yōu)美性質. 先把結論1~6抄錄如下：

 已知點A、B為拋物線C：上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線、分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線、的交點.                          

結論1 若直線AB過拋物線C的焦點F，則動點在拋物線C的準線上.

結論2 若動點在拋物線C的準線上. 則直線AB過拋物線C的焦點F，

結論3 若直線AB過定點則動點在定直線上.

結論4若動點在定直線上， 則直線AB過定點

結論5若直線AB過拋物線C的焦點F，則以AB為直徑的圓過點P

結論6 若以AB為直徑的圓過點P，則直線AB過拋物線C的焦點F.

以上結論揭示了拋物線C的焦點與準線、類焦點與類準線的關聯(lián)性質，下面對以上性質進行推廣和再探究.

一、再探究1：探究結論的推廣

上述結論1、2分別是結論3、4的特殊情況，而結論3與結論4、結論5與結論6互為逆命題 .能否把結論3、4，結論5、6推廣到更一般的情形？

 先看結論3、4，若把其中直線AB所過的“定點”推廣為“定點”，那么動點是否在某定直線上？

設動點( ,)，則切點弦所在直線的方程為  . 若直線過定點，則有，即這表明動點（ ,)在定直線上； 反之，若點 ,)在定直線 (在拋物線外部（不含焦點的區(qū)域）的部分）上，則有  即.代人直線的方程，得，即這表明直線過定點.由此可把結論3、4推廣為：

已知點A、B為拋物線C：上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線、分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線、的交點.     

結論7 若直線AB過定點，則動點在定直線上. 結論8 若動點在定直線上,則直線AB過定點

特別地，當時，結論7、8分別為結論3、4.

對于結論5、6 ，其中“以AB為直徑的圓過點P”，即兩切線、的斜率滿足.若把其中直線AB所過的“焦點F”推廣為“類焦點”，那么兩切線、的斜率應滿足什么條件？

設則切線、的方程分別為 則. 若直線AB過定點當直線AB不與軸垂直即時，直線、的斜率、相等，即亦即.整理得即則.當直線AB與軸垂直即時，得則；反之，若，把之代入，得，即 當直線AB不與軸垂直即時，

，由此可得A、Q、B三點共線，即直線AB過定點. 當直線AB與軸垂直即時，可得直線AB也過定點.綜上，可把結論5、6推廣為：

  已知點A、B為拋物線C：上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線、分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線、的交點.

結論9  若直線AB過定點，則兩切線、的斜率滿足.

結論10 若兩切線、的斜率滿足，則直線AB過定點

特別地，當時，結論9、10分別為結論5、6.

二、再探究2： 探究新結論

在上述結論的條件下，拋物線C還具有哪些優(yōu)美的性質？經探究，拋物線C還具有如下一些優(yōu)美的性質：

  已知點A、B為拋物線C：上的兩個動點，點A在第一象限，點B在第四象限，直線、分別過點A、B且與拋物線C相切，點P為直線、的交點.

結論11 若直線AB過拋物線C的焦點F，則分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點F.

結論12 若分別以PA、PB為直徑的圓均過拋物線C的焦點F，則直線AB過拋物線C的焦點F.

結論13 若直線AB過定點，且直線AB、PQ的斜率均存在，則

結論14 若且直線AB、PQ的斜率均存在，且，則直線AB過定點

結論15 若直線AB過定點，且直線、PQ、的斜率均存在，則成等差數(shù)列,即.

結論16若直線、PQ、的斜率均存在且成等差數(shù)列,即，則直線AB過定點.

顯然，結論11、12是結論13、14的特殊情況，下面只證明結論13、14、15、16.

證明設則切線、的方程分別為兩式相減，得，由此可得代入切線的方程即可得,則于是又則

，

若直線AB過定點，且不與軸垂直即時，直線、的斜率、相等，即亦即.整理得即則，即.

當直線AB與軸垂直即時，得則，即；

反之，若代入得解得，即 由存在知直線AB不與軸垂直即，則

，由此可得A、Q、B三點共線，即直線AB過定點.

若， 即當直線AB不與軸垂直即時，，可解得，即 同上可得，A、Q、B三點共線，即直線AB過定點；當直線AB與軸垂直即時，可得直線AB也過定點.這就證明了結論13、14、15、16.：

至此，我們完成了對文【1】的結論的推廣和再發(fā)現(xiàn).

參考文獻

【1】卓文隆.一道拋物線定直線問題的推廣.數(shù)學通訊，2014（5、6）（上半月）.